Magia w RPG Historia RPG nierozerwalnie związana jest z kośćmi. Służyły one (i w większości wypadków nadal służą) do wykonywania testów. Polega to na określeniu prawdopodobieństwa, że jakaś np. czynność zakończy się powodzeniem, a następnie wykonaniu rzutu kośćmi. Jeżeli wynik rzutu był niższy niż ustalona wartość to test uważamy za udany. Najczęściej prawdopodobieństwo ustala się w procentach, ale nie w przypadku RPG. Tu test zazwyczaj polega na wyrzuceniu jakiejś liczby na kostce lub wartości mniejszej od tej progowej (czasem większej, ale dla uproszczenia przyjmijmy pierwszy wariant). Były takie czasy, gdy poza kostkami k6 (sześciościennymi) w naszym pięknym kraju nad Wisłą innych kostek kupić się nie dało. Dla graczy był to nie lada problem, bo systemy RPG często wymagały takich dziwolągów jak k4, k8, k10, k12, k20 i czasem k100. Polak potrafi, więc zaczęto zamiast wykonywać rzut 1k10 kombinować z dwiema kostkami k6 i ten właśnie temat chciałbym poruszyć. Zacznę od nieco innego wariantu. Z jakiś przyczyn mamy wyrzucić 1k12. Niech będzie to powiedzmy rzut na obrażenia. Oczywiście im więcej wyrzucimy tym lepiej. Pech chciał, że nie mamy k12, ale k6 ci u nas dostatek. Co robimy? Łapiemy za dwie "szóstki" i ..... STOP! Na pierwszy rzut oka widać, że coś może być nie tak. Jeśli rzucimy 2k6, czyli dwiema "szóstkami", a wynik zsumujemy, to minimum dostaniemy 2 oczka. Oj coś dużo tego. Nie tu kryje się jednak największe niebezpieczeństwo. Zacznijmy od początku. Co to w ogóle jest prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zdarzenia? Mamy naszą nieszczęsną k6. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 1? Oczywiście 1/6. No dobrze, ale skąd to wiemy? Otóż to nieszczęsne prawdopodobieństwo jest ilość wystąpień danego zdarzenia jeżeli liczba prób dążyła do nieskończoności. Jaśniej? Liczy się to w ten sposób, że dzieli się ilość wyrzuconych np. 1 (jeżeli chcemy poznać prawdopodobieństwo wyrzucenia 1) przez ilość rzutów. Ilość rzutów musi być "dostatecznie duża", czyli najlepiej nieskończona (nigdy taka nie będzie, ale pomarzyć można). Matematycy (a właściwie statystycy) już dawno udowodnili, że k6 powinna mieć równomierny rozkład prawdopodobieństwa. Oznacza to, że wyrzucenie 1, 2, 3, 4, 5 czy 6 jest tak samo prawdopodobne, czyli, że po wykonaniu np. 600 rzutów taką kostką każda z tych liczb wyrzucona zostanie mniej więcej (600/6) 100 razy. To samo dotyczy k4, k8, k12, k10, k20. Ponieważ suma prawdopodobieństw wszystkich poszczególnych zdarzeń (np. wyrzucenie 1) powinna być równa 1 (tak ma być i koniec! ;), więc prawdopodobieństwo każdego z nich wynosi 1 dzielone przez sumę ilości wszystkich zdarzeń: k6 : 1/6 na wyrzucenie 1 lub 2 lub 3 lub ... k12 : 1/12 na wyrzucenie ... k20 : 1/20 .... No dobrze, a co się dzieje gdy mamy 2k6? Możemy wyrzucić na pierwszej kostce 1 i na drugiej 5. W sumie daje to 6. Są też inne możliwości. Prześledźmy je wszystkie: 1 i 1 = 2 1 i 2 = 3 1 i 3 = 4 1 i 4 = 5 1 i 5 = 6 1 i 6 = 7 2 i 2 = 4 2 i 3 = 5 2 i 4 = 6 2 i 5 = 7 2 i 6 = 8 3 i 3 = 6 3 i 4 = 7 3 i 5 = 8 3 i 6 = 9 4 i 4 = 8 4 i 5 = 9 4 i 6 = 10 5 i 5 = 10 5 i 6 = 11 6 i 6 = 12 Jak widać kombinacji jest 21. Każdą wartość uzyskano na pewną ilość sposobów: 2 - 1 sposób (prawdopodobieństwo = 1/21) 3 - 1 sposób (prawdopodobieństwo = 1/21) 4 - 2 sposoby (prawdopodobieństwo = 2/21) 5 - 2 sposoby (prawdopodobieństwo = 2/21) 6 - 3 sposoby (prawdopodobieństwo = 3/21) 7 - 3 sposoby (prawdopodobieństwo = 3/21) 8 - 3 sposoby (prawdopodobieństwo = 3/21) 9 - 2 sposoby (prawdopodobieństwo = 2/21) 10 - 2 sposoby (prawdopodobieństwo = 2/21) 11 - 1 sposób (prawdopodobieństwo = 1/21) 12 - 1 sposób (prawdopodobieństwo = 1/21) Teraz wystarczy porównać prawdopodobieństwo uzyskania tych samych wartości przy użyciu k12 i 2k6: (wartość, prawd. k12 w %, prawd. 2k6 w %) UWAGA! Wartości zaokrąglone, suma nie będzie równa 100! 1, 8, 0 2, 8, 5 3, 8, 5 4, 8, 10 5, 8, 10 6, 8, 14 7, 8, 14 8, 8, 14 9, 8, 10 10, 8, 10 11, 8, 5 12, 8, 5 Jeszcze gorzej wygląda to gdy chcemy zobaczyć jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania wartości równej X lub mniejszej od X. (X, prawd. k12 w %, prawd. 2k6 w %) 1, 8,3 0,0 2, 16,7 4,8 3, 25,0 9,5 4, 33,3 19,0 5, 41,7 28,6 6, 50,0 42,9 7, 58,3 57,1 8, 66,7 71,4 9, 75,0 81,0 10, 83,3 90,5 11, 91,6 95,2 12, 100,0 100,0 Mało? Gdy rzucamy k12 prawdopodobieństwo wyrzucenia 6, 7 lub 8 wynosi 25%, a gdy używamy 2k6, aż 43%. Blisko dwa razy częściej uda się nam uzyskać takie wartości! Użycie dwóch "szóstek" zamiast "dwunastki" zwiększa prawdopodobieństwo uzyskania wyniku 6 lub więcej o dodatkowe 13%. Na każde 100 rzutów, o trzynaście rzutów więcej spełni to kryterium! Inaczej rzecz ujmując kantujemy, jak się da. Czy można jednak zastąpić k12 poprzez dwie k6 w taki sposób aby zachować prawdopodobieństwo wylosowania liczb? Tak i to w bardzo prosty sposób! Najpierw rzucamy 1k6. Zapamiętujemy wynik (powiedzmy 5). Rzucamy drugi raz k6. Jeżeli wypadło 4, 5 lub 6 to do zapamiętanego wyniku dodajemy 6 oczek, jeśli 1, 2 lub 3 to nie dodajemy nic. Co z tego wychodzi? (pierwszy rzut k6 , drugi rzut k6, uzyskany wynik) 1, 1,2 lub 3, 1 1, 4,5 lub 6, 7 2, 1,2 lub 3, 2 2, 4,5 lub 6, 8 3, 1,2 lub 3, 3 3, 4,5 lub 6, 9 4, 1,2 lub 3, 4 4, 4,5 lub 6, 10 5, 1,2 lub 3, 5 5, 4,5 lub 6, 11 6, 1,2 lub 3, 6 6, 4,5 lub 6, 12 Znowu mamy równomierny rozkład prawdopodobieństwa. Wniosek jaki z tego płynie? Nigdy nie sumujmy oczek, jeśli chcemy zachować naturę rzutu. Przecież gdyby nie było różnicy miedzy 1k12 i 2k6 nikt nie kazałby nam używać takich dziwolągów. Problem ten dotyczy nie tylko k12. Poniżej zaproponuję jak przy użyciu k6 zastąpić inne kostki, tak, aby zachować rozkład prawdopodobieństwa. 1k3 1.) Rzucamy 1k6. 1 i 2 traktujemy jako 1, 3 i 4 traktujemy jako 2, 5 i 6 traktujemy jako 3. 2.) Rzucamy 1k6. Jeżeli wynik z przedziału od 4 do 6 to odejmujemy od niego 3, w przeciwnym wypadku zostawiamy tak jak jest. 1k4 1.) Rzucamy 1k6. Gdy wypadnie 5 lub 6 rzut ponawiamy. 1k8 1.) Rzucamy 1k6. Gdy wypadnie 5 lub 6 rzut ponawiamy. Zapamiętujemy uzyskany wynik. Rzucamy drugi raz k6. Jeżeli wypadły 4, 5 lub 6 oczek do zapamiętanego wyniku dodajemy 4. 1k10 1.) Rzucamy 1k6. Gdy wypadnie 6 rzut ponawiamy. Zapamiętujemy uzyskany wynik. Rzucamy drugi raz k6. Jeżeli wypadły 4, 5 lub 6 oczek do zapamiętanego wyniku dodajemy 5. 1k12 1.) Patrz wyżej. 1k20 1.) Tu już się sprawa poważnie komplikuje. Rzucamy k6. Dla wyniku 5 i 6 ponawiamy rzut. Od uzyskanej liczby oczek odejmujemy 1 i teraz mnożymy przez 5. Wykonujemy drugi rzut k6 i jeżeli nie wypadła 6 to uzyskaną ilość oczek dodajemy do poprzednio uzyskanego iloczynu. Dla 6 oczek ostatni rzut ponawiamy. np. : W pierwszym rzucie uzyskano 3,a w drugim 4. Od 3 odejmujemy 1 i dostajemy 2. Mnożymy 2 przez 5. Razem jest 10. Dodajemy 4 z drugiego rzutu. Ostateczny wynik 14. Widać, że im dalej tym bardziej to skomplikowane. Strach się bać, co by było gdyby trzeba było wykonać przy użyciu "szóstek" rzut 3k20. Na szczęście teraz nie ma już problemu z kupnem kostek. Po co więc to wszystko? Ano po to, żebyśmy zdawali sobie sprawę z tego, że nie można tak bezkrytycznie zastępować kostek innymi i żebyśmy zdawali sobie sprawę jakie pociąga to za sobą skutki. Nawiasem mówiąc to jak ktoś zna się trochę na prawdopodobieństwie to można całkiem nieźle oszukiwać i to na dodatek za zgodą i z aprobatą nieco niedouczonego MG. Ale ja wam tego nie mówiłem ;) S.W PS. To, że w tekście nie pojawia się żadna ścisła definicja prawdopodobieństwa, rozkładu prawdopodobieństwa itd. nie jest dziełem przypadku. Ktoś kto lubi takie ścisłe definicje sam je sobie znajdzie i wyciągnie wnioski, które powyżej przedstawiłem. Innym odebrały by one tylko chęć do czytania. Poza tym lepiej chyba mieć chociaż intuicyjne pojęcie o prawdopodobieństwie niż żadne. Przygotował: Sławomir Wrzesień < zuhar@poczta.fm> lub < wrzesien@kfd2.fic.uni.lodz.pl>